فصل ششم ریاضی پایه هفتم | پاسخ تمارین، فعالیت‌ها و کاردرکلاس‌های کتاب درسی + جزوه آموزشی

به فصل ششم ریاضی پایه هفتم یعنی فصل شگفت‌انگیز “حجم و مساحت” خوش آمدید. آیا تا به حال فکر کرده‌اید که چطور می‌توان مقدار فضای داخل یک جعبه کادو را حساب کرد؟ یا چقدر رنگ برای رنگ کردن یک قوطی استوانه‌ای نیاز است؟ در این فصل، ما از دنیای مسطح دو بعدی فراتر می‌رویم و وارد جهان پرهیجان اجسام سه‌بعدی می‌شویم. قرار است با هم یاد بگیریم که:

حجم یعنی چه و چگونه فضای داخل یک جسم را اندازه می‌گیریم.
مساحت چگونه سطح بیرونی یک جسم را محاسبه می‌کنیم.
چطور اجسام مختلف مانند منشورها و استوانه ها را از نماهای مختلف ببینیم و نقشه آنها (گسترده) را بکشیم.

این فصل، تنها فرمول نیست؛ درباره درک فضاست. درباره این است که چطور ریاضیات در زندگی روزمره ما جریان دارد، از پر کردن یک استخر تا بسته‌بندی یک هدیه. پس آماده باشید تا ذهن خود را گسترش دهید و دنیای اطرافتان را با نگاه جدیدی ببینید!

در این مطلب اختصاصی منتشرشده در سایت ریاضی آلفا مث قرار است تا سفری به دنیای حجم و مساحت داشته باشیم.

همچنین اگر به کتاب درسی خود دسترسی ندارید یا قصد دارید تا فایل پی دی اف این فصل را نیز به همراه داشته باشید، این فایل را با کلیک بر روی عبارت: فایل PDF کتاب درسی فصل 6 ریاضی پایه هفتم، از سایت آلفا مث به طور رایگان دانلود نمایید.

سایت ما همچنین چند مورد از کامل‌ترین و بهترین جزوات آموزشی مربوط به فصل ششم ریاضی پایه هفتم را که حاوی درسنامه، مثال‌های فراوان و نمونه سوالات امتحانی این فصل می‌باشد را نیز به صورت فایل پی دی اف، با ذکر منبع و نویسنده آن که در درون هر فایل قرار گرفته است، به طور رایگان در اختیار دانش‌آموزان گرامی قرار می‌دهد:

جزوه کامل و جامع فصل شش ریاضی هفتم همراه با نمونه سوالات فراوان

نکات و توضیحات فصل ششم ریاضی هفتم همراه با مثال

جزوه شب امتحانی فصل ششم ریاضی پایه هفتم همراه با درسنامه خلاصه فصل

همچنین سایت آلفا مث مطالب اختصاصی و مفید خوبی برای دانش‌آموزان سایر پایه‌ها نیز فراهم آورده است که کاربران گرامی می‌توانند به طور رایگان از این مطالب نیز استفاده نمایند. برای مشاهده این مطالب به صفحه ریاضیات‌ مدرسه‌ای سایت ما سر بزنید و پایه تحصیلی مد نظر خود را انتخاب کنید.

فهرست محتوا

فصل ششم ریاضی پایه هفتم: سطح و حجم

حال زمان آن رسیده که تمامی بخش‌های موجود از این فصل که در کتاب درسی به آن‌ها پرداخته شده است را مورد بررسی قرار دهیم و سپس فعالیت‌ها، کاردرکلاس‌ها و تمارین مطرح شده در هر بخش را به طور دقیق و علمی پاسخ دهید، پس تا انتهای این مطلب همراه ما باشید.

اهداف آموزشی فصل ششم ریاضی هفتم:

شناخت احجام هندسی
شناخت چگونگی بدست آوردن حجم شکل‌های هندسی و نوشتن آن به صورت عبارت‌های جبری
شناخت چگونگی بدست آوردن مساحت جانبی و کل و نوشتن آن به صورت عبارت‌های جبری
یادگیری تبدیلات سطح و حجم
تقویت تجسم فضایی و درک شکل‌های هندسی
آشنایی با حجم حاصل از دوران شکل‌های هندسی

حجم‌های هندسی

نخستین بخش از فصل 6 ریاضی هفتم سعی دارد تا دانش‌آموزان را با مفهوم دقیق حجم آشنا نماید. همچنین انواع دسته‌بندی حجم‌ها را که شامل حجم‌های هندسی و غیرهندسی می‌باشند را با شکل برای دانش‌آموزان به نمایش می‌گذارد. در ادامه کتاب درسی به موضوع انواع دسته‌بندی حجم‌های هندسی یعنی مشنوری، کروی و هرمی می‌پردازد و تعاریف مناسبی از آن‌ها بازگو می‌کند. از دیگر مفاهیم مهم این بخش می‌توان به تعریف قاعده، یال، وجه‌های جانبی و راس در یک حجم منشوری اشاره کرد.

فعالیت اول صفحه 70 فصل ششم ریاضی پایه هفتم

این فعالیت می‌خواهد مفهوم “حجم” را از یک تعریف خشک کتابی به یک درک شهودی و عینی تبدیل کند. شما قرار است با نگاه به اطراف، وجود حجم را در همه چیز کشف کنید (حتی در چیزهایی که فکر می‌کنید حجم ندارند!). هدف دیگر، طبقه‌بندی اولیه حجم‌ها به “هندسی” (مانند مکعب) و “غیرهندسی” (مانند یک سنگ) است تا ذهن شما برای یادگیری شکل‌های منظم آماده شود.

1- به اطراف خود (کلاس، خانه، خیابان و…) به دقت نگاه کنید.

آیا چیزی پیدا می کنید که حجم نداشته باشد؟ بله، نور

در تصویر مقابل، چه نوع حجم هایی را می بینید؟ هندسی و غیرهندسی

آیا همه آنها شکل هندسی دارند؟ خیر

آیا می توانید یک طبقه بندی از انواع حجم ها ارائه کنید؟

فعالیت دوم صفحه 70 فصل ششم ریاضی هفتم

حالا نوبت شناخت دقیق‌تر یکی از مهم‌ترین خانواده‌های اجسام سه‌بعدی است: منشورها. در این بخش قرار است با اجزای اصلی یک منشور مانند وجه، یال، رأس و قاعده آشنا شوید. یادگیری شمارش این اجزا و استفاده از راهبرد “الگوسازی” برای نام‌بردن منظم آن‌ها، پایه اصلی حل تمام مسائل آینده این فصل است.

2- با توجه به شکل های زیر، خصوصیت های سه نوع حجم هندسی زیر را بنویسید.

کاردرکلاس صفحه 71 فصل ششم ریاضی سال هفتم

1- مشخص کنید هر یک از منشورهای زیر چند وجه جانبی دارد؛ یال ها، رأس ها و قاعده ها را نام ببرید.

2- برای اینکه در نام بردن یال و رأس چیزی جا نیفتد، از چه راهبردی استفاده می کنید؟ الگو سازی

3- آیا استوانه هم یک حجم منشوری است؟ چرا؟ بله، دارای دو قاعده است و از بی نهایت وجه تشکیل شده است.

فعالیت صفحه 71 ریاضی فصل شش ریاضی هفتم

آیا می‌توانید یک ساختمان بلند را فقط با نگاه کردن به نقشه آن تصور کنید؟ این بخش مهارت تجسم فضایی شما را تقویت می‌کند. شما یاد می‌گیرید که یک جسم را از بالا، روبرو و کنار ببینید و تشخیص دهید که “مقطع” یک جسم چه شکلی خواهد بود. این مهارت نه تنها در ریاضی، بلکه در مهندسی، طراحی و هنر نیز بسیار حیاتی است.

تمرین صفحه 72 فصل 6 ریاضی هفتم

1- آیا ممکن است مقطع یک کره و یک استوانه، هم شکل باشد؟ در چه صورت؟ بله، اگر هر دو را برش افقی بزنیم مقطع هر دو شکل دایره خواهد بود.

آیا ممکن است مقطع یک منشور و یک هرم هم شکل باشد؟ بله

2- یک استوانه از دید بالا به چه شکلی دیده می شود؟ دایره

یک منشور شش پهلو به چه شکلی دیده می شود؟ 6ضلعی

رأس های منشوری با قاعدهٔ شش ضلعی منتظم، روی دایرهٔ قاعدهٔ استوانه است.این حجم از بالا به چه شکلی دیده می شود؟

3- مشخص کنید هر کدام از حجم های زیر،ترکیبی از کدام حجم ها هستند؟

4- حجم مقابل را از 4 جهت نگاه می کنیم. این حجم از 4 طرف به چه شکلی دیده می شود؟

5- قاعدهٔ منشورهای زیر را رسم کنید (در واقع دید از بالا یا همان مقطع منشور است).

محاسبه حجم‌های منشوری

اینجا به قلب ماجرا می‌رسیم: محاسبه حجم. این بخش به شما نشان می‌دهد که فرمول حجم منشورها (حجم = مساحت قاعده × ارتفاع) یک فرمول تصادفی نیست، بلکه با شمردن مکعب‌های واحد به دست می‌آید. شما با درک این مفهوم، می‌توانید حجم هر منشوری (از جمله مکعب مستطیل و استوانه) را به راحتی محاسبه کنید.

فعالیت صفحه ۷۳ فصل ششم ریاضی پایه هفتم

1- در دورهٔ دبستان آموختید که حجم یک مکعب مستطیل برابر است با حاصل ضرب طول، عرض و ارتفاع. با توجه به درس
جبر که در فصل قبل آموختید، حجم مکعب مستطیل را با یک رابطهٔ جبری نشان دهید.

$V=a.b.c$

2- قاعدهٔ مکعب مستطیل از 8 مربع به ضلع یک سانتی متر درست شده است. $(2\times 4)$

اگر روی این قاعده، مکعب مستطیلی به ارتفاع 2 سانتی متر درست کنیم، حجم آن چقدر می شود؟

$V=(2\times4)\times2=16$

اگر قاعدهٔ مکعب مستطیل $3\times 4$ باشد، با همان ارتفاع چه حجمی درست می شود؟

$V=(3\times4)\times2=24$

3- همچنین آموختید که واحد حجم مکعبی به ضلع یک سانتی متر یا یک متر، یک سانتی متر مکعب یا یک مترمکعب است. مشخص کنید که هر کدام از حجم های زیر از چند مکعب واحد درست شده اند.

4- اکنون هر کدام از شکل های زیر را به مربع هایی به ضلع یک سانتی متر تقسیم کنید تا مشخص شود قاعدهٔ هر کدام چند مربع به ضلع یک سانتی متر است (می توانید از عددهای کسری هم استفاده کنید).

کاردرکلاس صفحه ۷۴ فصل ششم ریاضی هفتم

1- با توجه به فعالیت صفحهٔ قبل، رابطهٔ جبری به دست آوردن حجم های منشوری $(V)$ را که درآن، مساحت قاعدهٔ منشور، $S$ و ارتفاع منشور، $h$ است، بنویسید.

$V=S\times h$

2- با توجه به رابطهٔ بالا و مساحت قاعدهٔ داده شده، حجم هر شکل را محاسبه کنید.

3- ابتدا مساحت قاعده و سپس حجم هر یک از اجسام زیر را حساب کنید. برای به دست آوردن مساحت و حجم هر شکل رابطه های جبری را بنویسید.

4- منبع آبی به شکل استوانه است. شعاع قاعدهٔ این منبع $0.8$ متر و ارتفاعش $2$ متر است. منبع موصوف، چند متر مکعب آب می گیرد؟

5- یک جعبه دستمال کاغذی به شکل مکعب مستطیل داریم که طول آن 25، عرض آن 12 و ارتفاعش 5 سانتی‌متر است.تعیین کنید چند عدد از این جعبه ها در یک کارتن که به شکل مکعب مستطیل به ابعاد 50 و 30 و 24 سانتی متر است، جا می گیرد؟

تمرین صفحه ۷۵ فصل 6 ریاضی هفتم

2- حجم اشکال زیر را به دست آورید.

3- چاهی به عمق 12 متر حفر کرده ایم. شعاع دهانهٔ این چاه 0.4 متر است. وقتی خاک، کنده و بیرون ریخته می شود، حجم آن 1.3 برابر می‌شود. اگر خاک این چاه بعد از بیرون آمدن در سطحی به ابعاد 4 و 5 متر به طور یکنواخت ریخته شود تا یک مکعب مستطیل به وجود آید، ارتفاع این مکعب مستطیل چقدر خواهد شد؟

4- حوضی به شکل مکعب مستطیل داریم که ابعاد آن 4 و 3 و 1.5 متر است. می خواهیم این حوض خالی را با شیر آبی که در هر دقیقه 60 لیتر آب وارد آن می کند، پر کنیم. چند ساعت طول می کشد تا حوض پر شود؟

5- یک پارچ به شکل استوانه داریم که ارتفاع آن 30 سانتی متر و شعاع قاعدهٔ آن ٨ سانتی متر است. آب داخل این پارچ را در لیوان هایی به شکل استوانه که ارتفاع آنها 10 سانتی متر و شعاع قاعده شان ٤ سانتی متر است، می ریزیم. آب پارچ، چند لیوان را پُر می کند؟

6- قاعدهٔ یک منشور سه پهلو، مثلث قائم الزاویه ای است که ضلع های قائمهٔ آن 3 و 4 سانتی متر طول دارند. ارتفاع این منشور 6 سانتی متر است. حجم این منشور را پیدا کنید.

مساحت جانبی و کل

اگر بخواهید یک جعبه را کاغذ کادو کنید، باید مساحت سطح بیرونی آن را بدانید. این بخش دقیقاً به همین موضوع می‌پردازد: محاسبه مساحت جانبی. شما با “باز کردن” یک جسم سه‌بعدی و تبدیل آن به یک شکل دو بعدی (گسترده) آشنا می‌شوید و یاد می‌گیرید که چطور با یک محاسبه ساده (محیط قاعده × ارتفاع) می‌توان مساحت جانبی منشورها و استوانه‌ها را پیدا کرد. پس سومین بخش از این فصل قصد دارد تا دانش‌آموزان را با موضوع مساحت جانبی و کل به طور کامل آشنا کند.

فعالیت صفحه 76 فصل شش ریاضی سال هفتم

1- مساحت همهٔ وجه های جانبی منشورهای زیر را به دست آورید. هر وجه جانبی چه شکلی دارد؟ به مجموع این مساحت ها مساحت جانبی شکل می گویند.

2- برای به دست آوردن مجموع مساحت جانبی منشور سه پهلوی بالا به صورت زیر، آن را روی کاغذ قرار می دهیم و به اندازهٔ
طول هر ضلع، یک علامت می گذاریم.

3- با توجه به ٢ سؤال بالا اگر مساحت را با S، محیط را با P و ارتفاع را با h نشان می‌دهیم، رابطهٔ جبری مساحت جانبی منشورهای بالا را بنویسید.

$S=p.h$

کاردرکلاس صفحه ۷۶ فصل ۶ ریاضی هفتم

1- مساحت جانبی شکل های زیر را پیدا کنید.

2- ستونی به شکل منشور شش پهلو داریم که هر ضلع آن 0.2 متر و ارتفاع آن 5 متر است. می خواهیم بدنهٔ جانبی این ستون را کاشی کاری کنیم. چند متر مربع کاشی لازم است؟

فعالیت صفحه ۷۷ فصل ۶ ریاضی پایه هفتم

1- یک استوانه را به شکل زیر، روی یک صفحه می غلتانیم و سطحی که استوانه در مسیر حرکتش پوشانده را مشخص می کنیم.

2- با توجه به سؤالات بالا مساحت جانبی یک استوانه به ارتفاع h و شعاع قاعده r را با عبارت جبری نشان دهید.

کاردرکلاس صفحه ۷۷ فصل ۶ ریاضی سال هفتم

1- با توجه به فعالیت بالا با یک مستطیل می توان یک سطح استوانه ای درست کرد.

2- گستردهٔ یک منشور شش پهلو با قاعدهٔ شش ضلعی منتظم و گستردهٔ یک مکعب مستطیل با قاعدهٔ مربع در شکل های زیر رسم شده اند.

تمرین صفحه ۷۸ فصل ششم ریاضی 7ام

1- در شکل زیر گستردۀ چند منشور نشان داده شده است. آنها را روی کاغذ بکشید و منشورها را درست کنید و به کلاس بیاورید.

2- یک غلتک باید ٤ بار روی زمین آسفالت شده غلت بزند تا سطح آن صاف شود. اگر شعاع غلتک 50 سانتی متر و ارتفاع استوانهٔ آن 1 متر باشد، برای آسفالت کردن سطح یک کوچه به طول ٢٠ و عرض ٤ متر، این غلتک باید به طور تقریبی چند دور بچرخد؟

3- یک چرخ ماشین که کاملاً خیس شده است، پس از 10 دور چرخیدن روی زمین جای خود را مشخص می کند و نهایتاً خشک می شود. اگر ضخامت این چرخ 20 سانتی متر و قطر آن 70 سانتی متر باشد، چه مساحتی از زمین را خیس خواهد کرد؟

4- یک چادر مسافرتی به شکل مقابل داریم.چند متر پارچه برای ساخت آن به کار رفته است؟
حجم این چادر چقدر است؟

5- شعاع قاعدهٔ یک مخزن نفت به شکل استوانه ای 3 متر و ارتفاعش 5 متر است. می خواهیم بدنهٔ خارجی و سقف آن را رنگ بزنیم. اگر هزینهٔ رنگ کردن هر متر مربع 3000 تومان باشد، برای رنگ کردن این مخزن چقدر باید هزینه کرد؟

6- می خواهیم با مقوا مکعبی به ضلع 10 سانتی متر بسازیم. چند سانتی متر مربع مقوا به کار می رود؟

7- یک جعبه به شکل مکعب مستطیل به ابعاد 30 و 50 و 40 سانتی متر را با کاغذ کادو پوشانده ایم. برای پوشاندن این جعبه حداقل چند سانتی مترمربع کاغذ کادو مصرف شده؟ چرا در این مسئله حداقل کاغذ لازم خواسته شده است؟

از خلاقیت تا حل مسئله: حجم و سطح

این بخش به شما نشان می‌دهد که ریاضیات یک علم کاربردی و خلاق است. شما در دو گام اصلی، دانش خود را تکمیل خواهید کرد:

۱. درک و خلاقیت: با ساخت حجم از گسترده و چرخش اشکال دور یک محور، منشأ شکل‌های سه‌بعدی مانند منشور و استوانه را به صورت عینی و ملموس درک می‌کنید. این بخش پایهٔ درک عمیق‌تر شماست.

۲. حل مسئله: سپس از این درک برای حل مسائل زندگی استفاده می‌کنید. محاسبهٔ مقدار کاغذ کادو برای یک هدیه، حجم آبی که یک چرخ خیس روی زمین پخش می‌کند یا هزینهٔ رنگ‌آمیزی یک مخزن، نمونه‌هایی از این کاربردها هستند.

فعالیت صفحه 79 فصل ششم از ریاضی هفتم

1- یک مستطیل به طول و عرض داده شده را به دو صورت روبه رو لوله می کنیم تا دو استوانه به دست آید.

2- یک کارخانهٔ تولید چای دو نوع بسته بندی به شکل های روبه رو دارد. هر دو نوع قوطی با ورق گالوانیزه (روی اندود) درست شده اند.در کدام یک چای بیشتری جا می گیرد؟

کاردرکلاس صفحه ۷۹ فصل 6 ریاضی 7ام

برای بسته بندی شیرینی، جعبه هایی درست می کنند که شکل گستردهٔ آنها به صورت زیر است. پس از تا کردن مربع های کوچک گوشه ها روی هم قرار می گیرند و جعبه درست می شود.

فعالیت صفحه 80 فصل ششم از ریاضی پایه هفتم

مستطیل ABCD را حول محوری که از AD می گذرد، دوران می دهیم. شکل زیر نشان می دهد که مستطیل ها چگونه حرکت می‌کنند.

کاردرکلاس صفحه 80 فصل شش از ریاضی هفتم

سطحی مثل شکل مقابل را حول محور d دوران می‌دهیم. حجم ساخته شده، چه شکلی خواهد داشت؟ می توانید با چرخاندن یک فرفره، حجم ایجاد شده از حرکت آن را ببینید.

2- یک مستطیل را یک بارحول محور AD و یک‌بار حول محور AB دوران دهید. حجم حاصل از این دوران را حساب کنید.

تمرین صفحه ۸۱ فصل ششم ریاضی پایه هفتم

1- یک مقوا به طول و عرض $20\times5$ را به شکل استوانه ای به ارتفاع 5 در آورده ایم. یک مقوای دیگر به ابعاد $10\times10$ را نیز به شکل استوانه درآورده ایم. با توجه به اینکه مساحت مقواها در دو حالت برابر است، کدام استوانه حجم بیشتری دارد؟

2- با شکل مقابل یک منشور درست کرده ایم. مساحت جانبی آن را پیدا کنید.

3- یک صابون مکعب مستطیل شکل به حجم 32 سانتی متر مکعب پس از چند بار مصرف، کوچک شده و ابعاد آن، به $2\frac{1}{2}$ و 4 و $1\frac{1}{2} سانتی‌متر کاهش یافته است. چند درصد این صابون استفاده شده است؟

4- یک استوانه که با یک مقوا به طول 20 و عرض 10 سانتی متر ساخته شده به طور تقریبی چه حجمی دارد؟ (ارتفاع استوانه
20 است.)

5- یک حجم از بالا و سمت راست و روبه رو به صورت زیر دیده می شود؛ آن را رسم کنید.

6- شکل مقابل، گستردهٔ یک منشور را نشان می دهد. مساحت جانبی منشور را پیدا کنید.

7- با توجه به حجم منشور و ابعاد آن، اندازهٔ ضلع های گستردهٔ آن را بنویسید.

8- حجم مقابل از راست، بالا و روبه رو چگونه دیده می شود؟

تمرین‌های ترکیبی صفحه هشتاد و دوم فصل ششم ریاضی هفتم

امیدواریم این مطلب آموزشی مورد توجه شما عزیزان قرار گرفته باشد. همچنین دانش‌آموزان و کاربران گرامی می‌توانند تا بقیه مطالب اختصاصی سایت آلفا مث درباره مابقی فصل‌های ریاضی هفتم را در دسته‌بندی ریاضیات هفتم مشاهده نموده و یا با کلیک بر روی هر یک از عناوین زیر فصل مورد نظر خود را برای بررسی و مطالعه انتخاب نمایند:

فصل اول ریاضی پایه هفتم

فصل دوم ریاضی هفتم

فصل سوم ریاضیات سال هفتم

چهارمین فصل از ریاضی هفتم

فصل پنجم ریاضی هفتم

فصل ششم ریاضی پایه هفتم | پاسخ تمارین، فعالیت‌ها و کاردرکلاس‌های کتاب درسی + جزوه آموزشی